Mathematik Rechengesetze

In diesem Abschnitt werden die Rechengesetze Kommutativ-, Assoziativ- und das Distributivgesetz kurz erklärt.

Das Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Operanden bei Operationen, die diesem Gesetz unterliegen, kommutativ sind. Also ausgetauscht werden können.

Von den vier Grundrechnungsarten unterliegen die Addition und die Multiplikation diesem Gesetz.

Beispiele:

a+b=b+a a + b = b + a und a⋅b=b⋅a a \cdot b = b \cdot a

also: 23+19=19+23 23 + 19 = 19 + 23 42=42 42 = 42 bzw: 9⋅3=3⋅9 9 \cdot 3 = 3 \cdot 9 27=27 27 = 27

Gegenbeispiele:

a−b≠b−a a - b \neq b - a und ab≠ba \frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}

also: 23−19≠19−23 23 - 19 \neq 19 - 23 4≠−4 4 \neq -4 bzw: 93≠39 \frac{9}{3} \neq \frac{3}{9} 3≠13 3 \neq \frac{1}{3} 3≠0,3¯ 3 \neq 0{,}\overline{3}

Merke:
Bei Addition und Multiplikation dürfen die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden.
Bei Subtraktion und Division dürfen die Opperanden nicht vertauscht werden!

Das Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass die Auswertereihenfolge (von links nach rechts) bei gleichen Operationen, die diesem Gesetz unterliegen, assoziativ sind. Es ist also egal, ob man von links nach rechts oder von rechts nach links rechnet.

Von den vier Grundrechnungsarten unterliegen die Addition und die Multiplikation diesem Gesetz.

Beispiele:

a+b+c=a+(b+c) a + b + c = a + (b + c) und a⋅b⋅c=a⋅(b⋅c) a \cdot b \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

also: 7+6+5=7+(6+5) 7 + 6 + 5 = 7 + (6 + 5) 13+5=7+(11) 13 + 5 = 7 + (11) 18=18 18 = 18 bzw: 3⋅4⋅5=3⋅(4⋅5) 3 \cdot 4 \cdot 5 = 3 \cdot (4 \cdot 5) 12⋅5=3⋅(20) 12 \cdot 5 = 3 \cdot (20) 60=60 60 = 60

Gegenbeispiele:

a−b−c≠a−(b−c) a - b - c \neq a - (b - c) und ab c ≠ a bc \frac{ \frac{a}{b} }{ \text{ }c\text{ } } \neq \frac{ \text{ }a\text{ } }{ \frac{b}{c} }

also: 42−13−7≠42−(13−7) 42 - 13 - 7 \neq 42 - (13 - 7) 29−7≠42−(6) 29 - 7 \neq 42 - (6) 22≠36 22 \neq 36 bzw: 126 3 ≠ 12 63 \frac{ \frac{12}{6} }{ \text{ }3\text{ } } \neq \frac{ \text{ }12\text{ } }{ \frac{6}{3} } 23≠122 \frac{2}{3} \neq \frac{12}{2} 0,6¯≠6 0{,}\overline{6} \neq 6

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz beschreibt einerseits, wie man durch Herausheben Summen in Produkte umwandeln und andererseit wie man durch Ausmultiplizieren Klammern auflösen kann.

Beispiele:

a⋅b+a⋅c=a(b+c) a \cdot b + a \cdot c = a ( b + c )

3a+3b=3⋅(a+b) 3a + 3b = 3 \cdot (a + b)

7x+21y=7⋅(x+3y) 7x + 21y = 7 \cdot (x + 3y)

a+ab=a⋅(1+b) a + ab = a \cdot (1 + b)

ax+ayz=ax+yz \frac{ax + ay}{z} = a\frac{x + y}{z}

x2+x=x⋅(x+1) x^2 + x = x \cdot (x + 1)

… \dots